Me to Do de Newton Raphson

4 pages
0 views
of 4

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Share
Description
Description:
Similar Documents
Tags
Transcript
  See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/328571353 Método de Newton Raphson Conference Paper  · October 2018 CITATIONS 0 READS 653 1 author: Jose Enrique Vargas CanteroUniversidad Tecnológica de Bolívar 1   PUBLICATION   0   CITATIONS   SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Jose Enrique Vargas Cantero on 28 October 2018. The user has requested enhancement of the downloaded file.   Método de Newton Raphson.  Jose Enrique Vargas Cantero    Facultad de ingeniería, Universidad Tecnológica de Bolívar Cartagena, Colombia vargascanteroj@gmail.com    Abstract  —   Este artículo busca explicar de manera detallada el  funcionamiento del método de Newton Raphson, teniendo como  objetivo general explicar el fundamento teórico pertinente y todo lo concerniente a la aplicación del método. Además de lo  anterior, se exponen los posibles inconvenientes que se pueden  presentar a la hora de poner en práctica el método, contemplando  a su vez la solución pertinente del problema. I.   INTRODUCCIÓN El método de Newton Raphson es un procedimiento algorítmico que permite hallar raíces de funciones, conocido un valor numérico cercano a la raíz. Es un método abierto e iterativo, en general de rápida convergencia, muy útil para el cálculo de raíces cuadradas y de mayor grado, aunque para algunos casos el método presenta inconvenientes, por ejemplo si existen raíces múltiples, en este caso se tendría que aplicar diferentes soluciones  para así lograr encontrar la raíz sin abandonar el método. II.   TEORÍA DEL MÉTODO Sabemos por el teorema de Taylor que para un Xo ∈ (,)  tal que F´(Xo) es diferente de cero y además si se cumple que tanto la función como la derivada son continuas en el intervalo (a,b), entonces Buscamos el punto donde  (  ) = 0 , entonces:  por lo tanto podemos concluir que De forma general: Tambien es posible hacer un analisis geometrico del metodo a  partir de la siguiente grafica Fig, 1 Descripción grafica del método  A.  Historia El método numérico de Newton fue descrito por Sir Isaac  Newton en ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas Xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. El método es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) siendo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro «Aequationum Universalis», publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro «Método de las fluxiones» describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció  posteriormente   B. Algoritmo Existen diferentes formas de obtener el algoritmo de este método, cada una de ellas desarrolladas en un contexto matemático un poco similar. Se podría entender el método de Newton como un caso especial del método del punto fijo, al igual que se puede obtener el algoritmo a partir de un análisis geométrico como se ilustra en la Fig. 1. C. Convergencia del método El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (Una raíz doble, triple ,… ), el método de  Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática.  No hay un criterio general de convergencia para el método de  Newton-Raphson. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial. La única solución en estos casos es tener un valor inicial que sea “suficientemente”  cercano a la raíz. ¡Y para algunas funciones ningún valor inicial funcionará! Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimiento del problema físico o mediante el uso de recursos alternativos, tales como las gráficas, que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la solución. [2]  D. Error Este método es de convergencia cuadrática. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error. Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente. III. PROBLEMAS CON EL METODO  A. Desventajas Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo en el caso especial de raíces múltiples. Sin embargo, también cuando se trata de raíces simples, se encuentran dificultades, como por ejemplo la función.  () =   − 1  Si se aplica el método se observara que aunque la técnica converge a la raíz (1), lo hace muy lentamente, n=infinito, X=1.00000 Casos donde se presentan otras dificultades: 1.   Punto de inflexión [F´´(x)=0], en la vecindad de una raíz. 2.   Tendencia del método a oscilar alrededor de un mínimo o un máximo local. 3.   valor inicial cercano a una raíz salta a una posición varias raíces más lejos. Esta tendencia a alejarse del área de interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. 4.   U na pendiente cero [ƒ′(x)  = 0, causa una división entre cero en la fórmula de Newton-Raphson, lo cual ocasiona que la solución se dispare horizontalmente y jamás toca al eje x. IV. RAICES MULTIPLES Una raíz múltiple   corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje  x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de: F(x ) = (x  –   3) (  x  –   2) (  x  –   2). La ecuación tiene una raíz doble  porque un valor de  x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero. Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje  x en la raíz doble. Una raíz triple   corresponde al caso en que un valor de  x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, como en: F(x ) = (  x  –   3) (  x  –   l) (  x  –   1) (  x  –   1). En general, la multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza. Esto significa que el método pierde su convergencia cuadrática y  pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.  A. ¿Cómo solucionarlo? Las raíces múltiples ofrecen algunas dificultades al método, el  problema radica en el hecho de que no sólo f(x), sino también ƒ′ (x) se aproxima a cero en la raíz. Tales problemas afecta el método de  Newton- Raphson, el cual contiene derivada (o su aproximación) en el denominador de su fórmula respectiva. Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz. Una forma simple de evitar dichos problemas, que se ha demostrado teóricamente (Ralston y Rabinowitz, 1978), se basa en el hecho de que f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que ƒ′ (x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del  programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que ƒ′ (x) llegue a cero. [2]  Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar este  problema. Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se realice un  pequeño cambio en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadrática, como en: Donde m es la multiplicidad de la raíz (es decir, m = 2 para una raíz doble, m = 3 para una raíz triple, etc.). Se trata de una alternativa  poco satisfactoria, porque depende del conocimiento de la multiplicidad de la raíz. Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), consiste en definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función srcinal entre su derivada: Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas  posiciones que la función srcinal. Por lo tanto, la ecuación se sustituye en la ecuación srcinal de Newton-Raphson para desarrollar una forma alternativa del método: Se sustituyen las ecuaciones, con lo cual obtenemos: V.   CONCLUSIONES El método de Newton es muy eficiente y rápido a la hora de encontrar raíces de una ecuación ya que presenta convergencia cuadrática, pero existen algunas excepciones en las cuales el comportamiento de la convergencia es totalmente diferente al cuadrático, esto sin tener en consideración algunos casos ya mencionados en los cuales el método necesita un análisis especial. Ahora bien el problema de la convergencia del método ocurre cuando la ecuación tiene múltiples raíces y el procedimiento a seguir es modificar el algoritmo aplicando una nueva fórmula, garantizando así la eficacia y capacidad del método. REFERENCIAS [1]   Tjalling J. Ypma, Historical development of the  Newton-Raphson method, SIAM Review 37 (4), 531  –  551, 1995. [2]   Chapra, S. and Canale, R. (2007). Mtodos numricos para ingenieros (5a. ed.). Distrito Federal: McGraw-Hill Interamericana. [3]   Burden, R., Faires, D. and Burden, A. (2017). Anlisis numrico (10a. ed.). Distrito Federal: CENGAGE Learning. View publication statsView publication stats
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks