Latex documento 1

4 pages
0 views
of 4

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Share
Description
Description:
Tags
Transcript
  Trabajo de m´etodos num´ericos: Soluci´on a los problemaspropuestos Franz Gracian , Daniel Hernandez, Andres Hernandez y Mario Martinez Secci´on 4.31b . Procedemos a utilizar el m´etodo del trapecio para aproximar la integral    0 , 50 2 x − 4 dx como    ba f  ( x ) dx  b − a 2 ( f  ( a ) +  f  ( b ))entonces definimos  a  = 0 y  b  = 0 , 5 como f  ( x ) = 2 x − 4procedemos a buscar las im´agenes, por lo tanto f  ( a ) =  f  (0) = 20 − 4 = − 12y f  ( b ) =  f  (0 , 5) = 20 , 5 − 4 = − 47reemplazando en la formula tenemos que    0 , 50 2 x − 4 dx  0 , 52 ( − 12  − 47) = − 1556  und 2 6c . Procedemos a utilizar el m´etodo de simpson para aproximar la integral    1 , 30 , 75 [ sin 2 ( x ) − 2 xsinx  + 1] dx como    ba f  ( x ) dx  b − a 6 ( f  ( a ) + 4 f  ( a  +  b 2 ) +  f  ( b ))sea  a  = 0 , 75 ,  b  = 1 , 3 y  a + b 2  = 1 , 025 como f  ( x ) =  sin 2 ( x ) − 2 xsinx  + 1procedemos a a calcular las im´agenes f  ( a ) =  f  (0 , 75) =  sin 2 (0 , 75) − 2(0 , 75) sin (0 , 75) + 1 = 0 , 9805369442 f  ( b ) =  f  (1 , 3) =  sin 2 (1 , 3) − 2(1 , 3) sin (1 , 3) + 1 = 0 , 9415276478y f  ( a  +  b 2 ) =  f  (1 , 025) =  sin 2 (1 , 025) − 2(1 , 025) sin (1 , 025) + 1 = 0 , 9636482298procedemos a reemplazar en la formula    1 , 30 , 75 [ sin 2 ( x ) − 2 xsin ( x ) + 1] dx 1   1 , 3 − 0 , 756 ((0 , 9805369442) + 4(0 , 9636482298) + (0 , 9415276478)) = 0 , 5295269385  und 2 Ejercicio 5.21b . Procedemos a utilizar el m´etodo de Euler para aproximar la soluci´on de la ecuaci´on diferencialdada. y  = 1 + ( t − y ) 2 , 2  t  3 , y (2) = 1  h  = 0 , 5dado que dydx  =  f  ( t,y ) ,a  t  b, y ( a ) =  αt i  =  a  +  ih y w i +1  =  w i  +  h [1 + ( t i − w i ) 2 ]sea  a  = 2 ,  b  = 3 y  α  = 1 entonces t i  = 2 + 0 , 5 i e iterando desde i  = 1 , 2obtenemos los siguientes resultados:cuando  i  = 0 t 0  = 2  w 1  = 1cuando  i  = 1 t 1  = 2 , 5  w 2  =  w 1  +  h [1 + ( t 1 − w 1 ) 2 ] = 1 + 0 , 5[1 + (2 − 1) 2 ] = 2cuando  i  = 2 t 2  = 3  w 3  =  w 2  +  h [1 + ( t 2 − w 2 ) 2 ] = 2 + 0 , 5[1 + (2 , 5 − 2) 2 ] = 2 , 625por lo que podemos llevar estos datos obtenidos en una tabla i t i  w i +1 0 2 11 2 , 5 22 3 2 , 625 Ejercicio 5.41b . Procedemos a utilizar el m´etodo de Taylor de orden 4 para aproximar la soluci´on de laecuaci´on diferencial. y  = 1 + ( t − y ) 2 ; 2  t  3;  y (2) = 1 ; h  = 0 , 5de donde f  ( t,y ( t )) = 1 + ( t − y ) 2 por lo que tenemos f   ( t,y ( t )) = 2( t − y )(1 − y  ) = 2( t − y )(1 − 1 − ( t − y ) 2 ) = − 2( t − y ) 3 f   ( t,y ( t )) = − 6( t − y ) 2 (1 − y  ) = − 6( t − y ) 2 (1 − 1 − ( t − y ) 2 ) = 6( t − y ) 4 f   ( t,y ( t )) = 24( t − y ) 3 (1 − 1 − ( t − y ) 2 ) = − 24( t − y ) 5 como sabemos, T  (4) ( t i ,w i ) =  f  ( t i ,w i ) +  h 2 f   ( t i ,w i ) +  h 2 6  f   ( t i ,w i ) +  h 3 24 f   ( t i ,w i )procedemos a reemplazar las derivadas encontradas , por lo que tenemos T  (4) ( t i ,w i ) = 1 + ( t i − w i ) 2 +  h 2( − 2)( t i − w i ) 3 +  h 2 6 (6)( t i − w i ) 4 +  h 3 24( − 24)( t i − w i ) 5 2  = 1 + ( t i − w i ) 2 − h ( t i − w i ) 3 +  h 2 ( t i − w i ) 4 − h 3 ( t i − w i ) 5 sabemos que la ecuaci´on recursiva se denota por w i +1  =  w i  +  hT  ( n ) ( t i ,w i )en nuestro caso tenemos lo siguiente w i +1  =  w i  +  h [1 + ( t i − w i ) 2 − h ( t i − w i ) 3 +  h 2 ( t i − w i ) 4 − h 3 ( t i − w i ) 5 ]si  i  = 0 t 0  = 2  y w 1  = 1si  i  = 1 t 1  = 2 , 5  y w 2  =  w 1  +  h [1 + ( t 1 − w 1 ) 2 − h ( t 1 − w 1 ) 3 +  h 2 ( t 1 − w 1 ) 4 − h 3 ( t 1 − w 1 ) 5 ] t 1 − w 1  = 2 , 5 − 1 = 1 , 5 w 2  = 1 + 0 , 5[1 + (1 , 5) 2 − 0 , 5(1 , 5) 3 + 0 , 5 2 (1 , 5) 4 − 0 , 5 3 (1 , 5) 5 ] = 993512 = 1 , 939453125si  i  = 2 t 2  = 3  y w 3  =  w 2  +  h [1 + ( t 2 − w 2 ) 2 − h ( t 2 − w 2 ) 3 +  h 2 ( t 2 − w 2 ) 4 − h 3 ( t 2 − w 2 ) 5 ] t 2 − w 2  = 3 − 993512 = 543512 = 1 , 060546875 w 3  = 993512 + 0 , 5[1 + (543512) 2 − 0 , 5(543512) 3 + 0 , 5 2 (543512) 4 − 0 , 5 3 (543512) 5 ] = 2 , 777898337con estos datos obtenidos procedemos a representarlos en una tabla para compararlos conlos valores exactos provenientes de la soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial, la cual es y ( t ) =  t  + 11 − ti t i  w i +1  Exacto y i  =  y ( t i )0 2 1 11 2 , 5 1 , 939453125 1 , 8333333332 3 2 , 777898337 2 , 5 Ejercicio 5.91b .Procedemos a realizar el metodo de Runge Kutta para aproximar las soluciones del sistemade ecuaciones propuesto. Nuestro sistema de ecuaciones esta dado por: u  1  = − 4 u 1 − 2 u 2  +  cos ( t ) + 4 sin ( t ) u  2  = 3 u 1  +  u 2 − 3 sin ( t )con las condiciones u 1 (0) = 0  u 2 (0) = − 1  h  = 0 , 1 0  t  2Cabe denotar que conocemos la soluci´on anal´ıtica de las mismas, las cuales son U  1 ( t ) = 2 e − t − 2 e − 2 t +  sin ( t ) ; U  2 ( t ) = − 3 e − t + 2 e − 2 t el m´etodo descrito est´a definido en nuestro caso de la siguiente forma sea du 1 dt  =  f  ( t,u 1 ,u 2 )  y du 2 dt  =  g ( t,u 1 ,u 2 )tenemos que u { i +1 } 1  =  u { i } 1  + 16( K  1  + 2 K  2  + 2 K  3  +  K  4 )  y u { i +1 } 2  =  u { i } 2  + 16( L 1  + 2 L 2  + 2 L 3  +  L 4 )donde K  1  =  hf  ( t i ,u 1 ( t i ) ,u 2 ( t i ))  L 1  =  hg ( t i ,u 1 ( t i ) ,u 2 ( t i )) K  2  =  hf  ( t i  +  h 2 ,u i ( t i ) +  K  1 2  ,u 2 ( t i ) +  L 1 2 )  L 2  =  hg ( t i  +  h 2 ,u i ( t i ) +  K  1 2  ,u 2 ( t i ) +  L 1 2 ) K  3  =  hf  ( t i  +  h 2 ,u 1 ( t i ) +  K  2 2  ,u 2 ( t i ) +  L 2 2 )  L 3  =  hg ( t i  +  h 2 ,u 1 ( t i ) +  K  2 2  ,u 2 ( t i ) +  L 2 2 ) K  4  =  hf  ( t i  +  h,u 1 ( t i ) +  K  3 ,u 2 ( t i ) +  L 3 )  L 4  =  hg ( t i  +  h,u 1 ( t i ) +  K  3 ,u 2 ( t i ) +  L 3 )A continuaci´on se muestran los resultados de las iteraciones y de los valores exactos.3       t     U     1     U     2    u     1    u     2     k     1     k     2     k     3     K     4     L     1     L     2     L     3     L     4     0     0  -     1     0  -     1     0 ,     3     0 ,     2     6     9     8     6     6     6     9     4     0 ,     2     7     3     3     9     2     7     3     0 ,     2     4     5     7     2     9     3     8  -     0 ,     1  -     0 ,     0     7     4     9     9     3     7     5  -     0 ,     0     7     8     2     6     3     4     3  -     0 ,     0     5     5     7     5     8     5     5     0 ,     1     0 ,     2     7     2     0     4     6     7     5  -     1 ,     0     7     7     0     5     0     7     5     0 ,     2     7     2     0     4     1     3     7  -     1 ,     0     7     7     0     4     5     4     9     0 ,     2     4     6     0     2     6     3     3     2     0 ,     2     2     1     6     4     3     8     6     0 ,     2     2     4     5     9     8     3     1     0 ,     2     0     2     1     3     1     2     3  -     0 ,     0     5     6     0     4     2     1     6  -     0 ,     0     3     6     8     2     1     7     4  -     0 ,     0     3     9     5     1     8     0     8  -     0 ,     0     2     2     2     6     5     2     5     0 ,     2     0 ,     4     9     5     4     9     0     7     4  -     1 ,     1     1     5     5     5     2     1     7     0 ,     4     9     5     4     8     1     6     9  -     1 ,     1     1     5     5     4     3     3     3     0 ,     2     0     2     3     9     0     3     8     1     0 ,     1     8     2     5     4     1     8     0     3     0 ,     1     8     5     0     5     0     2     5     0 ,     1     6     6     6     6     6     5     5  -     0 ,     0     2     2     5     1     0     6     3  -     0 ,     0     0     7     8     9     7     9     9  -     0 ,     0     1     0     1     4     4     6     4     0 ,     0     0     2     9     3     4     7     2     0 ,     3     0 ,     6     7     9     5     3     3     3     8  -     1 ,     1     2     4     8     3     1     3     9     0 ,     6     7     9     5     2     1     8     6  -     1 ,     1     2     4     8     2     0     1     9     0 ,     1     6     6     8     9     7     0     2     5     0 ,     1     5     0     6     0     0     4     3     5     0 ,     1     5     2     7     6     4     0     3     0 ,     1     3     7     5     6     7     3     1     0 ,     0     0     2     7     1     8     4     8     0 ,     0     1     3     6     7     5     6     8     0 ,     0     1     1     7     7     9     0     5     0 ,     0     2     1     5     5     6     1     5     0 ,     4     0 ,     8     3     1     4     0     0     5     1  -     1 ,     1     1     2     3     0     2     2     1     0 ,     8     3     1     3     8     7     4     1  -     1 ,     1     1     2     2     8     9     5     1     0 ,     1     3     7     7     7     6     3     7     6     0 ,     1     2     4     2     4     2     4     1     1     0 ,     1     2     6     1     4     2     1     7     0 ,     1     1     3     4     1     3     4     3     0 ,     0     2     1     3     6     1     7     7     0 ,     0     2     9     4     3     2     1     6     0 ,     0     2     7     8     0     5     5     8     0 ,     0     3     4     9     8     2     8     2     0 ,     5     0 ,     9     5     6     7     2     7     9     8  -     1 ,     0     8     3     8     3     3     1     0 ,     9     5     6     7     1     3     9  -     1 ,     0     8     3     8     1     9     5     0 ,     1     1     3     6     0     6     8     1     2     0 ,     1     0     2     2     0     3     8     6     6     0 ,     1     0     3     9     0     4     1     8     0 ,     0     9     3     0     6     9     8     2     0 ,     0     3     4     8     0     4     5     6     0 ,     0     4     0     6     0     7     3     0 ,     0     3     9     1     8     7     0 ,     0     4     4     3     2     9     4     3     0 ,     6     1 ,     0     5     9     8     7     7     3     2  -     1 ,     0     4     4     0     4     6     4     8     1 ,     0     5     9     8     6     2     6     9  -     1 ,     0     4     4     0     3     2     4     0 ,     0     9     3     2     5     1     9     5     7     0 ,     0     8     3     4     7     7     6     7     4     0 ,     0     8     5     0     2     9     2     6     0 ,     0     7     5     6     3     4     7     8     0 ,     0     4     4     1     6     2     8     2     0 ,     0     4     8     1     9     5     5     8     0 ,     0     4     6     9     3     1     0     7     0 ,     0     5     0     4     9     2     1     4     0 ,     7     1 ,     1     4     4     1     9     4     3     7  -     0 ,     9     9     6     5     6     1     9     8     1 ,     1     4     4     1     7     9     4     5  -     0 ,     9     9     6     5     4     7     6     9     0 ,     0     7     5     8     0     9     0     5     1     0 ,     0     6     7     2     6     6     9     6     2     0 ,     0     6     8     7     0     9     2     1     0 ,     0     6     0     3     9     7     7     3     0 ,     0     5     0     3     3     3     7     6     0 ,     0     5     2     9     9     5     4     8     0 ,     0     5     1     8     4     7     2     6     0 ,     0     5     4     1     8     9     7     3     0 ,     8     1 ,     2     1     2     2     2     0     9     8  -     0 ,     9     4     4     1     9     3     8     6     1 ,     2     1     2     2     0     5     9     7  -     0 ,     9     4     4     1     7     9     5     3     0 ,     0     6     0     5     6     6     6     2     4     0 ,     0     5     2     9     4     6     9     6     7     0 ,     0     5     4     3     0     9     9     4     0 ,     0     4     6     8     0     4     4     8     0 ,     0     5     4     0     3     7     0     1     0 ,     0     5     5     6     4     6     5     6     0 ,     0     5     4     5     8     4     0     9     0 ,     0     5     5     9     9     7     1     6     0 ,     9     1 ,     2     6     5     8     6     8     4     5  -     0 ,     8     8     9     1     1     1     2     1 ,     2     6     5     8     5     3     4     6  -     0 ,     8     8     9     0     9     6     9     5     0 ,     0     4     6     9     6     9     7     6     6     0 ,     0     4     0     0     3     3     7     3     6     0 ,     0     4     1     3     3     9     8     1     0 ,     0     3     4     4     2     8     7     6     0 ,     0     5     5     8     4     8     2     7     0 ,     0     5     6     6     5     9     5     7     0 ,     0     5     5     6     5     9     7     3     0 ,     0     5     6     3     7     2     9     6     1     1 ,     3     0     6     5     5     9     3  -     0 ,     8     3     2     9     6     7     7     6     1 ,     3     0     6     5     4     4     4  -     0 ,     8     3     2     9     5     3     6     4     0 ,     0     3     4     5     9     1     5     9     4     0 ,     0     2     8     1     5     8     3     8     0 ,     0     2     9     4     2     3     5     8     0 ,     0     2     2     9     4     8     7     3     0 ,     0     5     6     2     2     6     6     6     0 ,     0     5     6     4     4     1     0     6     0 ,     0     5     5     4     8     6     8     0 ,     0     5     5     6     8     1     5     1 ,     1     1 ,     3     3     5     3     4     3     2     1  -     0 ,     7     7     7     0     0     6     9     3     1 ,     3     3     5     3     2     8     4     4  -     0 ,     7     7     6     9     9     3     0 ,     0     2     3     1     0     9     7     8     0 ,     0     1     7     0     4     5     8     8     5     0 ,     0     1     8     2     8     1     0     3     0 ,     0     1     2     1     2     7     7     0 ,     0     5     5     5     3     7     0     2     0 ,     0     5     5     3     1     3     3     7     0 ,     0     5     4     3     9     2     6     0 ,     0     5     4     2     1     1     0     8     1 ,     2     1 ,     3     5     2     9     9     1     6  -     0 ,     7     2     2     1     4     6     7     3     1 ,     3     5     2     9     7     6     9     9  -     0 ,     7     2     2     1     3     2     9     9     0 ,     0     1     2     2     8     7     2     1     1     0 ,     0     0     6     4     9     7     6     3     6     0 ,     0     0     7     7     0     9     2     7     0 ,     0     0     1     7     9     8     1     3     0 ,     0     5     4     0     6     8     0     7     0 ,     0     5     3     5     3     0     9     0 ,     0     5     2     6     3     5     6     0 ,     0     5     2     1     8     8     6     8     1 ,     3     1 ,     3     6     0     0     7     4     6     2  -     0 ,     6     6     9     0     4     8     2     2     1 ,     3     6     0     0     6     0     1     8  -     0 ,     6     6     9     0     3     4     7     0 ,     0     0     1     9     5     6     0     2     3  -     0 ,     0     0     3     6     2     3     0     4  -     0 ,     0     0     2     4     3     1     8     5  -     0 ,     0     0     8     1     5     1     5     5     0 ,     0     5     2     0     4     7     1     3     0 ,     0     5     1     2     9     3     3     4     0 ,     0     5     0     4     1     8     7     9     0 ,     0     4     9     7     9     1     9     9     1 ,     4     1 ,     3     5     7     0     2     3     5     3  -     0 ,     6     1     8     1     7     0     7     7     1 ,     3     5     7     0     0     9     3  -     0 ,     6     1     8     1     5     7     4     7  -     0 ,     0     0     7     9     9     5     6     2  -     0 ,     0     1     3     4     0     2     8     4  -     0 ,     0     1     2     2     3     1     8     3  -     0 ,     0     1     7     7     8     7     8     9     0 ,     0     4     9     6     5     2     1     2     0 ,     0     4     8     7     5     6     4     1     0 ,     0     4     7     9     0     0     5     4     0 ,     0     4     7     1     5     9     0     5     1 ,     5     1 ,     3     4     4     1     8     1     1     7  -     0 ,     5     6     9     8     1     6     3     4     1 ,     3     4     4     1     6     7     1     6  -     0 ,     5     6     9     8     0     3     2     9  -     0 ,     0     1     7     6     3     4     4     9  -     0 ,     0     2     2     8     8     8     4     5  -     0 ,     0     2     1     7     3     9     5     9  -     0 ,     0     2     7     1     4     1     5     7     0 ,     0     4     7     0     2     1     3     2     0 ,     0     4     6     0     4     0     5     8     0 ,     0     4     5     2     0     3     4     5     0 ,     0     4     4     3     9     6     2     1     1 ,     6     1 ,     3     2     1     8     4     2     2     3  -     0 ,     5     2     4     1     6     5     1     5     1 ,     3     2     1     8     2     8     4     7  -     0 ,     5     2     4     1     5     2     3     6  -     0 ,     0     2     6     9     9     1     4     3  -     0 ,     0     3     2     0     9     4     8     3  -     0 ,     0     3     0     9     7     1     8     4  -     0 ,     0     3     6     2     1     5     0 ,     0     4     4     2     6     1     2     2     0 ,     0     4     3     2     3     8     1     4     0 ,     0     4     2     4     2     1     4     8     0 ,     0     4     1     5     8     4     4     6     1 ,     7     1 ,     2     9     0     2     8     5     3     2  -     0 ,     4     8     1     3     0     4     0     3     1 ,     2     9     0     2     7     1     8     4  -     0 ,     4     8     1     2     9     1     5     4  -     0 ,     0     3     6     0     6     8     9     5  -     0 ,     0     4     1     0     1     2     1     6  -     0 ,     0     3     9     9     2     0     1     2  -     0 ,     0     4     4     9     8     8     6     9     0 ,     0     4     1     4     5     2     9     6     0 ,     0     4     0     4     1     8     9     2     0 ,     0     3     9     6     2     5     7     4     0 ,     0     3     8     7     8     4     6     5     1 ,     8     1 ,     2     4     9     7     9     7     9     6  -     0 ,     4     4     1     2     4     9     2     2     1 ,     2     4     9     7     8     4     8     1  -     0 ,     4     4     1     2     3     7     0     5  -     0 ,     0     4     4     8     4     7     6     7  -     0 ,     0     4     9     6     1     1     6     7  -     0 ,     0     4     8     5     5     6     6     1  -     0 ,     0     5     3     4     2     6     6     2     0 ,     0     3     8     6     5     7     4     5     0 ,     0     3     7     6     3     4     9     0 ,     0     3     6     8     6     9     1     7     0 ,     0     3     6     0     4     1     6     4     1 ,     9     1 ,     2     0     0     6     9     5     7     8  -     0 ,     4     0     3     9     6     4     3     1     1 ,     2     0     0     6     8     3  -     0 ,     4     0     3     9     5     2     5     1  -     0 ,     0     5     3     2     9     1     6     2  -     0 ,     0     5     7     8     5     0     5     3  -     0 ,     0     5     6     8     3     9     1     9  -     0 ,     0     6     1     4     8     0     8     1     0 ,     0     3     5     9     1     9     6     2     0 ,     0     3     4     9     2     3     9     7     0 ,     0     3     4     1     9     0     3     5     0 ,     0     3     3     3     8     7     7     2     1 ,     1     4     3     3     3     6     7     2  -     0 ,     3     6     9     3     7     4     5     7     1 ,     1     4     3     3     2     4     3     6  -     0 ,     3     6     9     3     6     3     1     8  -     0 ,     0     6     1     3     5     2     8     2  -     0 ,     0     6     5     6     7     6     0     4  -     0 ,     0     6     4     7     1     5     5     1  -     0 ,     0     6     9     0     9     5     0     7     0 ,     0     3     3     2     7     1     7     6     0 ,     0     3     2     3     1     2     9     4     0 ,     0     3     1     6     1     6     5     2     0 ,     0     3     0     8     4     5     1     8 4
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks
SAVE OUR EARTH

We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

More details...

Sign Now!

We are very appreciated for your Prompt Action!

x