8 geom t_2016

30 pages
62 views
of 30

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Share
Description
111
Similar Documents
Transcript
  • 1. ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА  — БОГДАН 2016 «Геометрія» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів В.О. Тадеєв Геометрія
  • 2. Тадеєв В.О. Т12 Геометрія : підручник для 8 кл. загальноосвітн. навч. закл. / В.О Тадеєв. — Тернопіль : Навчальна книга – Богдан, 2016. — 322 с. : іл. ISBN 978-966-10-4484-4 Ïðîïîíîâàíèé ï³äðó÷íèê â³äïîâ³äຠäåðæàâíîìó ñòàíäàðòó ³ ÷èíн³é ïðîãðàì³ ç ìàòåìàòèêè äëÿ 8 класу çàãàëüíîоñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â. У ньому подається обов’язковий обсяг програмного матеріалу, а також розширення «Для тих, хто хоче знати більше». Розширення містить теоретичний матері- ал, що відповідає програмі поглибленого вивчення математики у 8 класі, відтак підручник може використовуватися і для тако- го навчання — як у груповій, так і в індивідуалізованій формі. Наведені приклади розв’язування задач та вправи і задачі для класної й самостійної роботи. У кінці кожного параграфа пода- ються питання для самоконтролю, а в кінці розділу — завдан- ня для проведення контрольних робіт. При викладі теоретичного матеріалу і в підборі задач зíà÷íà óâàãà ïðèä³ëÿºòüñÿ міжпредметним зв’язкам та ïèòàíнÿì ³ñòîðè÷íîãî, ñâ³òîãëÿäíîãî і ìåòîäîëîã³÷íîãî õàðàêòåðó. Для учнів та вчителів загальноосвітніх навчальних закладів. УДК 514 (075.3) ББК 22.151я72 Т12 Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва ISBN 978-966-10-4484-4 © Тадеєв В.О., 2016 © Навчальна книга – Богдан, 2016 УДК 514 (075.3) ББК 22.15я72 Піктограмою у підручнику позначено ті його електронні складові, які можна від- крити за посиланням: http://www.bohdan-digital.com/edu.
  • 3. Передмова автора і видавництва Øàíîâí³ äðóç³! У 8 класі ви продовжуватимете вивчення основ геометрії. Ви вже знаєте, що геометрія — це математична наука про геометричні фі- гури, а геометричні фігури конструюються для пізнання реальних та можли- вих форм матеріального і духовного світу. У 7 класі ви вивчали найпростіші із геометричних фігур — точки, прямі, відрізки, кути, трикутники і коло, ознайомилися із численними їхніми практичними застосуваннями. У цьому році ви істотно поповните арсенал геометричних фігур та прикладів їхнього застосування, долучивши до вже відомого найрізноманітніші багатокутники. А це, у свою чергу, дасть змогу поглибити знання і про трикутники та коло. Крім цього, у 8 класі будуть з’ясовані дуже важливі факти щодо вимірюван- ня фігур, і серед них — знаменита теорема Піфагора про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, яку відомий астроном Йоганн Кеплер (той самий, що відкрив закони руху планет навколо Сонця) назвав однією із двох найкоштовніших перлин геометрії. Ви запитаєте, а що він уважав дру- гою перлиною? — Золотий переріз, або, як його тепер часто називають, код да Вінчі. І про нього ви теж довідаєтеся у цьому році. Нарешті, буде підведений логічний підсумок у тому питанні, з якого, влас- не, геометрія розпочиналася — в обчисленні площ багатокутників. Однак не тільки цими суто теоретичними і практичними знаннями цінна геометрія, яку ви продовжуватимете вивчати. Ще в сиву давнину знаменитий філософ Платон написав над входом до своєї школи мудрості в Афінах: «Нå îá³çíàíèé ç ãåîìåòð³ºþ, нå çàõîäü під дах мій!» За що ж так цінувалася тоді геометрія? — За те, що вона розвивала Мама сердиться на мене за те, що я більше люблю цвяхи, ніж підручники. А хто винуватий? Звісно, не я, а підручники. Не треба бути такими нудними. Лія Гераскіна, «В країні невивчених уроків» — Зараз я вам цю математику поясню... Е-е- е-е... — Папуга уже розкрив дзьоба, аби почати пояснення, і ... стулив його знову. — Ні, — сказав папуга, — так нічого не вийде. Потрібний наочний посібник. — Який? — здивувався удав. — Наочний. Він потрапить вам на очі, і все одразу стане зрозуміло. Григорій Остер, «38 папуг»
  • 4. 4 Передмова автора і видавництва мистецтво аргументації, а аргументація була основою того нового демократич- ного суспільства, яким так пишалися давні греки і яке вони всіляко проти- ставляли східним деспотіям. Символічно, що серед своїх легендарних мудре- ців-законодавців, котрих греки вважали духовними учителями, на першому місці вони завжди ставили ім’я Фалеса, який, власне, законодавцем і не був. Фалес був ученим і, як стверджують легенди, довів лише декілька простих геометричних теорем. Однак цим він продемонстрував здатність людського розуму відшукувати об’єктивну істину, і цей постулат став основою західної цивілізації. Отже, вивчаючи геометрію, ви продовжуватимете навчати- ся мистецтву аргументації, яке є базовою цінністю людського буття. Навчання основам теоретичних і практичних знань, а також мистецтву аргументації — це ті основні завдання, які ставляться у цьому підручнику. Погортайте підручник, і ви навіть за ілюстративним матеріалом помітите, що кожному із цих завдань відведено належне місце. По всьому тексту ви помітите низку розпізнавальних знаків, які мають своє символічне значення: На урок вас запрошуватиме наш шкільний дзвоник, перев’язаний жов- то-блакитною стрічкою. Ðóáðèêó вправ і çàäà÷ усюди супроводжуватиме богиня ìóäðîñò³ Àô³íа. Вибрано рельєфне її зображення з геометричними атрибутами — кутником, циркулем, лінійкою і сферою, створене Філіппом-Роланом Роландом для за- хідного фасаду паризького Лувра. Вправи і зàäà÷³ ðîçì³ùåí³ в ê³íö³ кожного ïàðàãðàô³â за порядком нарос- танням трудності. Найпростіші ç íèõ (у тому числі й усні вправи) позначені світлим кружечком, а найскладніші — темним. Задачі, не позначені додатко- вими значками, хоч і не так явно, однак теж природно розбиваються на дві групи: перші простіші, а наступі — складніші. Отже, загалом задачний мате- ріал проградуйований за чотирма рівнями складності. Ó кінці кожного розді- лу ïîäàíі òèïîâ³ çàâäàííÿ äëÿ êîíòðîëüíèõ ðîá³ò (ó äâîõ âàð³àíòàõ), які теж відповідним чином проградуйовані за рівнями. У÷í³, ÿê³ îçíàéîìëÿòüñÿ ç íèìè çàçäàëåã³äü, будуть застраховані від íåïðèºìíèõ «ñþðïðèç³â» íà êîíòðîëüí³é. ×èìàëî çàäà÷ ó ï³äðó÷íèêó âì³ùåíî ç ðîçâ’ÿçàííÿìè. Відповідна рубри- ка «Розв’язуємо разом» позначена красномовною світлиною з учителем
  • 5. 5Передмова автора і видавництва і ученицею, які разом розв’язують задачу. На поданих у тексті прикладах äåìîíñòðóþòüñÿ çàñòîñóâàííÿ вивчених теоретичних відомостей, à â îêðåìèõ âèïàäêàõ — ³ корисні нові факти та çàãàëüí³ ï³äõîäè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ. Ці приклади можуть слугувати взірцями для оформлення розв’язань у зошитах. У підручнику є розширення «Для тих, хто хоче знати більше», розрахова- не на учнів, які хочуть дізнаватися про математику більше, можливо, мріють стати науковцями або працювати у високотехнологічних галузях. Розширення містить теоретичний матеріал, що відповідає програмі поглибленого вивчен- ня математики у 8 класі, а відтак кожен учень має змогу опановувати його і в звичайній школі. Ці тексти подаються на жовтому і блакитному тлі та су- проводжуються портретами ãåí³àëüíèõ ìàòåìàòèê³â Ìèõàéëà Îñòðîãðàäñüêîãî ³ Ñîô³¿ Êîâàëåâñüêîї. Життєвий шлях цих учених переконливо засвідчує, ùî ìàòåìàòèêà îäíàêîâî äîñòóïíà ÿê чоловікам, òàê ³ жінкам, і ùî óñï³õè â íàóö³ íå çàëåæàòü â³ä ì³ñöÿ íàðîäæåííÿ: Îñòðîãðàäñüêèé íàðîäèâñÿ íà õóòîð³, à Êîâàëåâñüêà — у столиці Êð³ì íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó, ï³äðó÷íèê ì³ñòèòü ñïåö³àëüíó ðóáðèêó «Ñòîð³íêè ³ñòî𳿻. Її супроводжує муза історії Кліо зі знаменитої картини Генріха Семирадського «Парнас», яка прикрашає завісу Львівського оперного театру. Кліо тримає книгу й перо, а промовистим порухом лівої руки немовби запрошує озирнутися назад. Оçíàéîìëåííÿ ç поданими у цій рубриці відомо- стями ðîçøèðèòü âàø êðóãîç³ð, äîïîìîæå çáàãíóòè важливі âíóòð³øí³ зако- ни ðîçâèòêó ìàòåìàòèêè і мотиви діяльності її творців. À öå, у ñâîþ ÷åðãó, ñïðèÿòèìå ãëèáøîìó її ðîçóì³ííþ і легшому засвоєнню. У рубриці «Перевірте себе» містяться запитання для самоконтролю. Цю рубрику супроводжує зображення міфічної пташки-Ñô³íêñ з погруддям жінки і тулубом лева, яка, за переказами, пропускала далі лише тих подорожніх, хто правильно відповідав на її запитання. Áàæàºìî âàì íàòõíåííÿ é óñï³õ³â ó вивченні ãåîìåò𳿠— îäí³º¿ ç íàéäàâí³øèõ, íàéçàõîïëèâ³øèõ ³ íàéêîðèñí³øèõ íàóê!
  • 6. На цій світлині 1970-х років — одна з найвідоміших художниць-авангардисток, дизайнерок і моде- льєрок ХХ ст. Соня Делоне з ескізами нових робіт. Про її славу свідчить те, що вона була наго- роджена найвищою нагородою Франції — орденом Почесного легіону (1975 р.) і першою жінкою, чия персональна виставка відбулася у знаменитому Луврі (1964 р.). Уся її творчість надихалася двома головними субстанціями — кольором і геометричними формами. Про свою любов до яскравих і барвистих кольорів вона писала: «Це фарби мого дитинства, фарби України, спогади про сільське весілля, з платтями у червоних і зелених тонах, з кольоровими стрічками»1) . А геометричні форми Соня Делоне вивчала уже в гімназії, мріючи про наукову кар’єру. І без цього етапу в її житті теж не було б великої художниці. 1) Соня Делоне (Sonia Delaunay) (1885–1979) народилася в Одесі і прожила в Україні лише п’ять перших років свого довгого життя. Однак саме вони, за її визнанням, наклали найбільший відбиток на всю її багатогранну творчість.
  • 7. Розділ І Уроки 1–3 Чотирикутники §1. Довільні чотирикутники 1.1. Чотирикутник і його елементи Із 7 класу відомо, що геометрія — це наука про геометричні фігури. Найпростішими геометричними фігурами є точки, прямі і площини, а їхні властивості описуються аксіомами геометрії. Усім іншим геоме- тричним фігурам даються означення. В означенні геометричної фігури подається вичерпний перелік властивостей, який вирізняє цю фігуру з-поміж ін- ших, або вказується спосіб її побудови. Із 7 класу вам відомі означення відрізка, півпрямої (променя), півплощини, кута, трикутника і кола. Трикутник — найпростіша фігура із так званих багатокутників, що утворюються за допомогою певним чином роз- міщених відрізків. Наступним іде чотирикутник. Із нього ми й почнемо вивчення геометрії у 8 класі. Нагадаємо, що трикутник повністю визначаєть- ся трьома своїми точками, які не лежать на одній прямій — вершинами, а утворюється за допомогою трьох відрізків — сторін, які послідовно сполучають ці точки. На рис. 1.1, а, б) зображено каркасний і плоский трикутники АВС з вершинами А, В,  С
  • 8. 8 Розділ І. Чотирикутники Будівля муніципалітету в Гаазі (Нідерланди). Висота будівлі 72 м. Уведена в експлуатацію у 2011 р. Чотирикутна форма бічних граней із гострим верхнім кутом надає споруді улюблених голландцями обрисів корабля, що здіймається на хвилях. Можливо, це — наймасштабніше втілення в архітектурі різнокутної чотирикутної форми.
  • 9. 9§1. Довільні чотирикутники і сторонами АВ, ВС і АС. Каркасний трикутник скла- дається лише із вершин і сторін, а плоский — ще й із частини площини, обмеженої сторонами. Чотирикутник утворюється в аналогічний спосіб, однак для його визначення потрібно уже чотири точки. Означення. Чотирикутником називається плоска фігура, яка визначається чотирма точками — верши- нами чотирикутника, а утворюється за до- помогою чотирьох відрізків, які послідовно сполучають ці точки, — сторін чотирикутни- ка. При цьому жодні три вершини не повинні лежати на одній прямій, а жодні дві сторо- ни — не перетинатися у своїй внутрішній точці. Каркасний чотирикутник складається лише із вершин і сторін, а плоский — ще й із частини площини, обмеженої сторонами. На рис. 1.2, а), б) зображено каркасний і плос- кий чотирикутники АВСD з вершинами А, В, С, D і сторонами АВ, ВС, CD і АD.
  • 10. 10 Розділ І. Чотирикутники Позначення чотирикутників утворюється з по- значень їхніх вершин, записаних так, щоб кожні дві сусідні вершини визначали певну сторону. Ті самі чотирикутники АВСD, зображені на рис. 1.2, а), б), можна позначити й так: ВСDА, СВАD, DСВА тощо. Проте позначення АСВD — неправильне, оскільки пари сусідніх вершин А, С і В, D не є кінцями їхніх сторін. Зауважте, що фігури АВСD, зображені на рис. 1.3, а, б, в), не є чотирикутниками, оскільки у першій з них три точки А, В, С лежать на одній прямій, а в другій і третій відрізки АВ і СD перети- наються у своїх внутрішніх точках. Чотирикутник можна утворити із двох трикутни- ків АDС і А′BC′, які мають по одній рівній стороні (рис. 1.4, а). Для цього потрібно сумістити рівні сторони AC і А′C′ трикутників, а протилежні вер- шини B і D розмістити по різні боки від прямої АС (рис. 1.4, б). Креслення чотирикутника ABCD теж можна роз- почати із трикутної частини АВС, а потім розмісти- ти ззовні неї четверту вершину D так, щоб вона не належала жодній із прямих АВ, ВС чи АС (рис. 1.5, а, б). Провівши після цього відрізки DA і DC, мати- мемо чотирикутник ABCD. Сторони чотирикутника, які мають спільну вер- шину, називаються суміжними, а ті, що не мають спільної вершини, — протилежними. Суміжними в чотирикутниках АВСD, зображених на рис. 1.6, а), б), є сторони АВ і ВС, ВС і СD, СD і DА, DА і АВ, а протилежними — сторони АВ і СD та АD і ВС. Означення. Сума довжин усіх сторін чотирикутника на- зивається його периметром (від грецьких слів «пері» — навколо і «метрео» — вимірюю).
  • 11. 11§1. Довільні чотирикутники Як і для трикутника, периметр чотирикутника теж часто позначають літерою P. Вершини чотирикутника, які є кінцями однієї сто- рони, називаються сусідніми, а несусідні вершини на- зиваються протилежними. Означення. Відрізки, які сполучають протилежні вер- шини чотирикутника, називаються діаго- налями (від грецьких слів «діа» — через і «гоніо» — кут). Зокрема, у чотирикутниках АВСD, зображених на рис. 1.6, а), б), сусідніми є вершини А і В, В і С, С і D, D і А, а протилежними — вершини А і С та В і D. Діагоналями є відрізки АС і ВD. У наступному пункті 1.2 ми з’ясуємо, що у так зва- них опуклих плоских чотирикутниках обидві діагоналі завжди належать чотирикутнику (як на рис. 1.6, а), а в неопуклих одна із діагоналей належить чотирикутнику, а інша — не належить йому (як на рис. 1.6, б). Розв’язуємо разом Задача. Довести, що будь-яка сторона чотирикутника мен- ша від суми трьох інших його сторін. Р о з в ’ я з а н н я . Доведемо, що в довільному чотирикутнику АВСD (байдуже, опуклому чи не- опуклому) сторона АВ, наприклад, менша від суми сторін ВС, СD та АD (рис. 1.7). Для цього проведемо діагональ АС. Одержимо трикутники АВС та АDС. За нерівністю трикутника, з першого із них: АВ < ВС + АС. А з другого — АС < СD + АD.
  • 12. 12 Розділ І. Чотирикутники Підставляючи у першу з цих нерівностей замість АС більше за нього значення СD + АD (як свід- чить друга нерівність), ми тільки підсилимо першу нерівність: АВ < ВС + СD + АD. Твердження задачі доведено. 1.2. Кути чотирикутника. Опуклі й неопуклі чотирикутники На відміну від трикутника, означення кута чо- тирикутника потребує уточнення самого поняття про кут. Досі кутом ми називали фігуру, утворена двома променями (сторонами), що мають спільний початок (вершину) (рис.1.8, а). Кутом називали та- кож частину площини, обмежену цими променями; її заповнюють відрізки з кінцями на сторонах кута (рис. 1.8, б). Для трикутників таких понять про кут було цілком достатньо, зокрема, тому, що жоден із кутів трикутника не перевищує максимальної міри кута між двома променями, тобто 180°. У чотири- кутнику ж можуть бути й кути, які більші за 180°. Наприклад, у чотирикутнику АВСD, зображеному на рис. 1.9, таким є кут при вершині D. Це й вимагає розширення поняття про кут. Надалі фігуру, що складається із двох променів зі спільним початком, називатимемо лінійним кутом і братимемо до уваги кожну з обох частин площи- ни, на які її розбиває лінійний кут (рис. 1.10). Ці частини називаються плоскими кутами, визначени- ми даним лінійним кутом. Якщо лінійний кут нероз- горнутий, то один із визначених ним плоских кутів має ту особливість, що йому належать усі відрізки з кінцями на сторонах цього лінійного кута. Його називають опуклим плоским кутом. Іншому плоско- му куту згадані відрізки не належать. Його назива- ють неопуклим плоским кутом. Вершина і сторони
  • 13. 13§1. Довільні чотирикутники лінійного кута називаються, відповідно, вершиною і сторонами кожного з обох визначених ним пло- ских кутів. На рис. 1.10, а) жовтим кольором зафарбовано опуклий плоский кут, а синім — неопуклий плоский кут, що визначені лінійним кутом з вершиною О та сторонами а і b. Уважається, що розгорнутий лінійний кут (рис. 1.11) розбиває площину на два рівних плоских розгорнутих кути. Мірою опуклого плоского кута вважається граду- сна міра j відповідного йому лінійного кута. Отже, ця міра більша за 0° і не перевищує 180°. Мірою неопуклого плоского кута вважається величина 360°- j. Отже, ця міра не менша від 180° і не більша за 360°. Якщо лінійний кут розгорнутий, то обидва визначених ним плоских кути дорівнюють по 180°. Тепер можемо перейти до означення кута чо­тирикутника. Як і для трикутника, при кожній вершині чотири- кутника розглядається плоский кут, який визначаєть- ся його сторонами. Однак тепер, коли тими самими сторонами визначаються два плоскі кути, ставиться додаткова вимога — плоский кут чотирикутника повинен містити його протилежну вершину. Плоский кут чотирикутника найчастіше називається просто його кутом. Наприклад, на рис. 1.12, а) дужкою відзначений опуклий, а на рис. 1.12, б) — неопуклий кути чо- тирикутників АВСD при вершині В. Кожен із них містить протилежну вершину D. Кути чотирикутника, вершини яких є протилежни- ми, називаються протилежними, а кути, які мають спільну сторону чотирикутника — сусідніми або прилеглими до цієї сторони.
  • 14. 14 Розділ І. Чотирикутники У чотирикутниках АВСD, що на рис. 1.12, а, б), протилежними є кути А і С та В і D, а прилеглими до сторони АВ — кути DАВ та СВА. Те о р е м а (про суму кутів чотирикутника). Сума кутів будь-якого чотирикутника дорів- нює 360°. Д о в е д е н н я . Нехай маємо довільний чотири- кутник АВСD. Проведемо діагональ АС (рис. 1.13). Якщо вона належить чотирикутнику (рис. 1.13, а, б), то нею цей чотирикутник розіб’ється на два трикут- ники, сума кутів яких дорівнюватиме сумі кутів дано- го чотирикутника. А оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°, то звідси випливатиме, що сума кутів даного чотирикутника дорівнює 2 · 180°, тобто 360°. Якщо ж діагональ АС лежатиме ззовні чотирикут- ника АВСD (рис. 1.13, в), то невідома сума х його кутів дорівнюватиме сумі кутів трикутника АDС (тобто 180°), до якої потрібно додати кут b чотири- кутника і відняти кути a і g трикутника АВС: х = = 180° + b - a - g. Але сума кутів трикутника АВС теж дорівнює 180°, тому a + g = 180° - ∠ABC: Звідси х = 180° + b - (180° - ∠ABC) = b + ∠ABC = = 360°. Отже, і в цьому разі сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Теорему доведено. Н а с л і д о к . Чотирикутник може мати щонайбільше один неопуклий кут. Справді, величина неопуклого кута більша за 180°. Тому, якби таких кутів у чотирикутнику було хоча б два, то їхня сума перевищувала б 360°, що неможливо.
  • 15. 15§1. Довільні чотирикутники Означення. Чотирикутник, у якого всі кути опуклі, нази- вається опуклим. Чотирикутник, один із кутів якого є неопуклим, називається неопуклим. На рис. 1.13, а) зображено опуклий чотирикутник АВСD, а на рис. 1.13, б), в) — неопуклий. Теорема (про діагоналі чотирикутника). Обидві діагоналі опуклого плоского чотири- кутника належать чотирикутнику. Одна із діагоналей неопуклого плоского чотирикутника належить чотирикутнику, а інша не належить йому. Д о в е д е н н я . Розглянемо, наприклад, діагональ АС чотирикутника ABCD з усіма опуклими плоскими кутами (рис. 1.14, а). Оскільки обидва протилежні кути АВС і ADC опуклі, то відрізок АС належить кожному з них, а тому належить і чотирикутнику. Аналогічні міркування застосовуємо й до іншої діа- гоналі ВD. Розглянемо тепер неопуклий чотирикутник АВСD (рис. 1.14, б). Оскільки з усіх кутів такого чотири- кутника тільки один є неопуклим (нехай це кут при вершині С), то з трьох решти його опуклих кутів два обов’язково є протилежними один до одного (нехай це кути В і D). Тоді діагональ АС, яка їм належить, належить і чотирикутнику. Навпаки, інша діагонал
  • Related Search
    Advertisement
    We Need Your Support
    Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

    Thanks to everyone for your continued support.

    No, Thanks