8 geom r_2016

256 pages
196 views
of 256

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Share
Description
111
Similar Documents
Transcript
  • 1. 2 УДК 51(075.3) ББК 22.1я723 Р 59 Експерти, які здійснили експертизу даного підручника під час проведення конкур- сного відбору проектів підручників для учнів 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів і зробили висновок про доцільність надання підручнику грифа «Рекомендо- вано Міністерством освіти і науки України»: Варбанець С. В., учитель комунального закладу «Погребищенська загальноосві- тня школа № 1 І–ІІІ ступенів Погребищенської районної ради Вінницької області», старший учитель; Бурлака Л. А., методист інформаційно-аналітичного методичного центру депар- таменту освіти і науки, молоді та спорту Запорізької міської ради Запорізької області; Кононович Т. О., доцент кафедри математичного аналізу та інформатики Полта- вського національного педагогічного університету імені В. Г. Короленка, кандидат фізико-математичних наук. Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України від 10.05.2016 р. № 491) © Роганін О., Капіносов А., Кондратьєва Л., 2016 ISBN 978-966-07-3027-4 © Видавництво «Підручники і посібники», оригінал-макет, 2016 Роганін О. Р 59 Геометрія : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. / О. Роганін, А. Капіносов, Л. Кондратьєва. — Терно- піль : Підручники і посібники, 2016. — 256 с. ISBN 978-966-07-3027-4 УДК 51(075.3) ББК 22.1я723
  • 2. 3 ЮНІ ДРУЗІ! Ми продовжуємо вивчення однієї з основних математичних дисцип- лін — геометрії. У 8 класі ми поглибимо знання про вже відомі геометричні фігури — кути, трикутники, досліджуватимемо нові геометричні фігури — многокутники, зокрема, чотирикутники та їх види. Основним методом здо- буття знань будуть міркування. Перед вами розкриватиметься цінність, ваго- мість і практична значимість геометричних знань. Матеріал, який ми вивчатимемо, поділено на чотири розділи, три- надцять параграфів, а великі параграфи — на пункти. Кожен параграф містить виклад теоретичного матеріалу: означення, теореми та їх доведення. Означенням і теоремам, як правило, передують кон- кретні приклади. Виклад теорії супроводжується рисунками, які відобража- ють послідовність виконуваних побудов. Усе це призначене для того, щоб полегшити розуміння матеріалу. Доведення деяких теорем подано в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше». Під цією рубрикою містяться відомості, які розширюють і поглиблюють основний зміст тем. Після викладу теоретичної частини кожної теми в рубриці «Запитання та завдання» подано систему завдань. Її призначення — допомогти краще зрозуміти, осмислити, запам’ятати елементи теорії та набути найпростіших навичок оперування геометричними знаннями про фігури. У кожному параграфі є рубрики «Запитання та завдання», «Основне в параграфі», «Для тих, хто хоче знати більше», «Розв’язуємо разом», «Застосуйте знання», «Задачі до параграфа», «Цікаво знати». У теоретичному матеріалі й рубриці «Розв’язуємо разом» значком «●» виділено початок і за- кінчення доведення теореми чи розв’язання задачі. У рубриці «Задачі до параграфа» чорним позначено номери задач, які рекомендовано для класної роботи, а кольором — для домашньої, а задачі, які будуть корисними в подальшому вивченні геометрії (опорні), позначені значком, наприклад, . Задачі в цій рубриці подано за трьома рівнями: А — задачі початкового та середнього рівнів, Б — достатнього, В — високого.
  • 3. 4 Рубрики «Цікаво знати», «Застосуйте знання» призначено для індивіду- альної роботи учнів. За допомогою завдань рубрик «Контроль навчальних досягнень» і «Задачі за курс геометрії 8 класу» ви зможете перевірити свої знання. Щиро бажаємо успіху!
  • 4. 5
  • 5. 6 § 1. Чотирикутники § 1. ЧОТИРИКУТНИКИ 1. Ламана. Рис. 1 Нехай дано скінченне число точок, наприклад, п’ять (рис. 1 а). Послідов- но сполучимо дані точки відрізками у послідовності: А → В → С → D → E (рис. 1 б). Отримали фігуру, яку називають ламаною ABCDE. На рис. 1 в) дані точки сполучили в іншій послідовності й отримали ламану ADСВE. Позначають ламані за вершинами у послідовності їх сполучення. Першу та останню вершини називають кінцями ламаної. Дві ланки, які мають спіль- ну вершину, називають сусідніми. Наприклад, у ламаної ABCDE (рис. 1 б) АВ та ВС — сусідні ланки, АВ та СD — несусідні. 2. Проста ламана. У ламаної ABCDE (рис. 1 б) немає точок самоперетину: жодні дві її не- сусідні ланки не мають спільної точки. Таку ламану називають простою. Ла- мана ADСВE (рис. 1 в) має точку самоперетину: дві несусідні ланки АD та ВЕ перетинаються. Ця ламана не є простою. а) б) в) Означення Ламаною називають фігуру, яка складається зі скінченно- го числа точок — вершин і відрізків, які їх послідовно спо- лучають, — ланок і при цьому жодні три послідовні вер- шини не лежать на одній прямій. Означення Простою ламаною називають ламану, у якої несусідні ланки не мають спільних точок.
  • 6. 1.1. Проста замкнена лінія 7 3. Замкнена ламана. Рис. 2 Якщо сполучити відрізком АD кінці ламаної ABCD (рис. 2 а), то отрима- ємо нову ламану з тими ж вершинами та доданою ланкою АD (рис. 2 б). Кінці в нової ламаної збігаються. Природно таку ламану назвати замкненою. Позначаючи замкнену ламану, кожну вершину записують один раз. У замкненої ламаної ланок стільки, скільки вершин. Наприклад, замкнена лама- на MOPKL складається з п’яти вершин: M, O, P, K і L та п’яти ланок: MO, ОP, РK, KL і LM. ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ 1. Накресліть просту незамкнену ламану, яка складається з: а) двох ланок; б) чотирьох ланок. 2. Накресліть незамкнену ламану, яка складається з чотирьох ланок і не є простою. 3. Накресліть просту замкнену ламану, яка складається з: а) чотирьох ла- нок; б) шести ланок. 4. Скільки вершин і ланок має: а) проста ламана MPKO; б) проста замкне- на ламана АВML? Назвіть їх. 5. Якою — замкненою чи незамкненою — є проста ламана, якщо в неї: а) чотири вершини та чотири ланки; б) чотири вершини та три ланки; в) п вершин і п ланок? 6. Скільки найменше ланок може бути у простої ламаної, якщо вона: а) незамкнена; б) замкнена? Накресліть такі ламані. 7. Накресліть просту замкнену ламану, яка складається із трьох ланок. Яку фігуру вона утворює разом з областю, що обмежує? а) б) Означення Замкненою ламаною називають ламану, у якої кінці збіга- ються.
  • 7. 8 § 1. Чотирикутники 1. Чотирикутник і його елементи. Рис. 3 На рис. 3 а) – в) зображено фігури, кожна з яких складається з чотирьох відрізків, що утворюють просту замкнену ламану, та частини площини, обме- женої цією ламаною. Такі фігури називають чотирикутниками. Вершини та сторони. Ланки ламаної, які утворюють чотирикутник, називають сторонами чотирикутника, а їхні кінці — його вершинами. З означення простої замкне- ної ламаної випливає, що жодні три вершини чотирикутника не лежать на одній прямій. Частину площини, обмежену сторонами чотирикутника, нази- вають внутрішньою областю чотирикутника. Позначають чотирикутник за вершинами, як і відповідну ламану. Наприклад, на рисунку 3 а) зображено чотирикутник ABCD. Дві вершини чотирикутника, які є кінцями однієї його сторони, назива- ють сусідніми, а вершини, які не є кінцями однієї сторони, — протилежними. Сторони чотирикутника, які мають спільну вершину, називають сусідніми, а сторони, які не мають спільної вершини, — протилежними. У кожного чоти- рикутника дві пари протилежних вершин і дві пари протилежних сторін. На рис. 3 а) зображено чотирикутник ABCD. Точки A, B, C і D — його вершини, відрізки АВ, ВС, СD і DА — сторони. Внутрішню область затушо- а) б) в) Означення Чотирикутником називають фігуру, що складається з простої замкненої ламаної, утвореної чотирма ланками, та частини площини, яку обмежує ламана.
  • 8. 1.2. Чотирикутники 9 вано. A і C, B і D — пари протилежних вершин, АВ і СD та АD і ВС — пари протилежних сторін. У будь-якому чотирикутнику кожна сторона менша від суми трьох ін- ших сторін (див. приклади розв’язання задач на с. 15). Периметром чотирикутника називають суму довжин усіх його сторін. Позначають його літерою Р. PABCD = АВ + ВС + СD + DА. Діагоналі. Рис. 4 У чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD, а в чотирикутнику MOPK — діагоналі MP і OK (рис. 4). Кути. Нехай дано чотирикутник ABCD (рис. 5 а). При вершині А побудуємо кут, сторонами якого є промені АВ та АD, що містить внутрішні точки чоти- рикутника (рис. 5 б). Такий кут називають кутом чотирикутника АВСD при вершині А. На рис. 5 в) зображено кут чотирикутника ABCD при вершині B. Рис. 5 Означення Діагоналлю чотирикутника називають відрізок, який спо- лучає його протилежні вершини. а) б) а) б) в)
  • 9. 10 § 1. Чотирикутники У кожного чотирикутника є чотири кути. Кути при двох протилежних вершинах називають протилежними, а кути при сусідніх вершинах — сусід- німи, або прилеглими до однієї сторони. Кут, суміжний із кутом чотирикутника, називають зовнішнім кутом чотирикутника. 2. Опуклі та неопуклі чотирикутники. Чотирикутники поділяють на опуклі й неопуклі (вгнуті). Рис. 6 На рис. 6 а) – г) зображено чотирикутник ABCD. Він лежить в одній пів- площині (з одного боку): відносно прямої AB (рис. 6 а), прямої BС (рис. 6 б), прямої CD (рис. 6 в) і прямої AD (рис. 6 г). Можна сказати інакше: жодна з прямих, яка містить сторони чотирикутника, не поділяє його на частини. Та- кий чотирикутник називають опуклим. Рис. 7 а) б) в) г) Означення Опуклим чотирикутником називають чотирикутник, який лежить в одній півплощині відносно кожної прямої, яка містить його сторону. а) б) в) г)
  • 10. 1.2. Чотирикутники 11 Чотирикутник MOPK, зображений на рис. 7 а) – г), відносно прямих MO і MK лежить в одній півплощині (рис. 7 а) – б). Відносно ж прямих OP і PK чотирикутник MOPK лежить у різних півплощинах (рис. 7 в) – г), тобто прямі OP і PK поділяють його на дві частини. Неопуклим (вгнутим) чотирикутником називають чотирикутник, для якого існує пряма, що містить його сторону і відносно якої він лежить у різ- них півплощинах. Далі ми вивчатимемо лише опуклі чотирикутники. 3. Теорема про суму кутів чотирикутника. Рис. 8 ● Доведення. Нехай ABCD — довільний опуклий чотирикутник (рис. 8). Доведемо, що ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Проведемо одну з його діагоналей, наприклад, AC. Вона поділить чоти- рикутник ABCD на два трикутники ABC і ADC. Кути, на які діагональ поділяє кути чотирикутника, позначимо як 1–4. За теоремою про суму кутів трикут- ника: ∠1 + ∠В + ∠3 = 180° (для трикутника ABC), ∠2 + ∠D + ∠4 = 180° (для трикутника ADC). Почастинно додамо отримані рівності: ∠1 + ∠В + ∠3 + ∠2 + ∠D + ∠4 = 180° + 180°. (∠1 + ∠2) + ∠B + ∠D + (∠3 + ∠4) = 360°; ∠A + ∠B + ∠D + ∠C = 360°. ● ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ 8. Зобразіть чотирикутник MNKL, затушуйте його внутрішню область і проведіть його діагоналі. а) Запишіть: пари протилежних вершин; пари протилежних сторін; діагоналі чотирикутника; б) накресліть сторони кута М чотирикутника; в) накресліть відрізок, який дорівнює периметру чотирикутника. Теорема Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
  • 11. 12 § 1. Чотирикутники 9. Накресліть опуклий чотирикутник MPOL. Проведіть прямі, які містять сторони чотирикутника. Поясніть, який чотирикутник називають опук- лим. 10. Накресліть неопуклий чотирикутник AODK з кутом А, більшим від роз- горнутого. 11. Чи існує чотирикутник, у якого сторони дорівнюють: а) 3 см, 5 см, 7 см і 12 см; б) 3 см, 5 см, 7 см і 16 см; в) 4 см, 6 см, 8 см і 18 см? Якщо існує, то обчисліть його периметр. 12. Сума трьох кутів чотирикутника дорівнює 220°. Знайдіть його четвер- тий кут. 13. Сума двох протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180°. Чому до- рівнює сума двох інших його кутів? 14. У чотирикутнику всі кути рівні. Чому дорівнює градусна міра кожного кута? 15. Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють 100°; 110° і 120°. 16. Накресліть чотирикутник, у якого три кути гострі. Яким є четвертий кут чотирикутника? Поясніть, чому не існує чотирикутника із чотирма гост- рими кутами. 17. Накресліть чотирикутник, у якого три кути тупі. Яким є четвертий кут чотирикутника? Поясніть, чому не існує чотирикутника з чотирма тупи- ми кутами. ОСНОВНЕ В § 1 ПРОСТА ЗАМКНЕНА ЛАМАНА Ламаною називають фігуру, яка складається зі скінченного числа точок — вершин, і відрізків, які їх послідовно сполучають, — ланок. При цьому жодні три послідовні вершини не ле- жать на одній прямій.
  • 12. Основне в параграфі 13 Простою ламаною називають ламану, у якої несусідні ланки не мають спільних точок. Замкненою ламаною називають ламану, у якої кінці збігаються. Чотирикутником називають фігуру, що складається з простої замкненої ламаної, утвореної чотирма ланками, та частини пло- щини, яку обмежує ламана. ЧОТИРИКУТНИКИ Периметром чотирикутника називають суму довжин усіх його сторін. РАВСD = AB + BC + CD + DA Діагоналлю чотирикутника називають від- різок, який сполучає його протилежні вер- шини. Опуклим чотирикутником називають чо- тирикутник, який лежить в одній півплощи- ні відносно кожної прямої, яка містить його сторону.
  • 13. 14 § 1. Чотирикутники Задача 1. Довести, що в будь-якому чотирикутнику кожна сторона менша від суми трьох інших сторін. ● Доведення. Нехай ABCD — опуклий чотирикутник (рис. 9). Доведе- мо, наприклад, що AB < BC + CD + AD. Рис. 9 Проведемо одну з діагоналей чотирикутника, наприклад, AC. З трикут- ника АВС за нерівністю трикутника маємо: AB < BC + AC; (1) з трикутника ACD: AC < CD + AD. (2) Якщо в нерівності (1) замінити довжину сторони АС більшою сумою довжин відрізків CD і AD (2), то AB < BC + CD + AD. ● Задача 2. Знайти кути чотирикутника, якщо вони пропорційні до чисел 1, 2, 3 і 4. Розв’язання ● Позначимо кути даного чотирикутника x°, 2x°, 3x° і 4x°. Оскільки су- ма кутів чотирикутника дорівнює 360°, то x + 2x + 3x + 4x = 360. Отримуємо: 10x = 360; x = 36. Тоді 2x = 72; 3x = 108; 4x = 144. Відповідь: 36°; 72°; 108°; 144°. ● Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360° РОЗВ’ЯЗУЄМО РАЗОМ
  • 14. Для тих, хто хоче знати більше 15 Властивість діагоналей опуклого чотирикутника. В опуклому чотирикутнику ABCD (рис. 10) діагональ АС належить йому та по- діляє його на два трикутники: ABС і АСD. Аналогічно діагональ BD належить йому та поділяє його на два трикутники: ABD і CBD. У неопуклому чотирикутнику ABCD (рис. 11) така властивість притаманна лише для однієї діагоналі — діагоналі BD; діа- гональ АС не поділяє чотирикутник на два трикутники. ● Доведення. Нехай ABCD — довільний опуклий чотирикутник (рис. 10). Кож- на з діагоналей належить чотирикутнику і поділяє його на два трикутники. Доведемо, що діагоналі AC і BD перетинаються. З того, що діагональ чотирикутника поділяє його на два трикутники, випливає, що протилежні вершини опуклого чотирикутника лежать з різних боків від прямої, що проходить через дві інші вершини. А це означає, що відрізок AC перетинає пряму BD, а відрізок BD перетинає пряму AC. Звідси випливає, що прямі AC і BD перетина- ються, а їхня спільна точка належить кожному з відрізків AC і BD. Отже, діагоналі AC і BD перетинаються, що й потрібно було довести. ● ЗАСТОСУЙТЕ ЗНАННЯ 1. Наведіть приклади предметів з довкілля, які мають форму чотирикутника. 2. Як визначити суму кутів А і В (див. рис.), вер- шини яких недоступні? ДЛЯ ТИХ, ХТО ХОЧЕ ЗНАТИ БІЛЬШЕ Рис. 10 Рис. 11 Теорема В опуклому чотирикутнику діагоналі перетинаються.
  • 15. 16 § 1. Чотирикутники Зауваження. У неопуклому чотирикутнику (рис. 11) один з кутів більший від розгорнутого. Діагоналі неопуклого чотирикутника не перетинаються, одна з діагона- лей належить чотирикутнику та поділяє його на два трикутники. 1. На прикладі поясніть, яку фігуру називають: а) ламаною; б) простою ламаною; в) замкненою ламаною. 2. Накресліть чотирикутник і поясніть, яку фігуру називають чотирикут- ником. 3. На прикладі поясніть, що в чотирикутнику називають: а) діагоналлю; б) кутом. 4. Накресліть опуклий і неопуклий чотирикутники. Який чотирикутник називають опуклим? 5. Чому дорівнює сума кутів чотирикутника? 6. Сформулюйте теорему про суму кутів чотирикутника. 7. Доведіть теорему про суму кутів чотирикутника. РІВЕНЬ А 18. На рис. 12 зображено чотирикутник з вершинами А, В, С і D. а) Яке з позначень — BCDA чи ACDB — є правильним? б) Назвіть вершини чотирикутника, які є сусідніми з вершиною А. в) Назвіть сторони чотирикутника, сусідні зі стороною ВС. г) Назвіть сторону чотирикутника, протилежну до сторони СD. д) Назвіть кут, протилежний куту С. е) Назвіть діагоналі чотирикутника і відрізки, на які вони поділяються точкою перетину. САМОПЕРЕВІРКА ТА ПОВТОРЕННЯ. ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДО § 1 ЗАДАЧІ ДО § 1
  • 16. Задачі до параграфа 17 Рис. 12 19. Три сторони чотирикутника дорівнюють 3 см, 7 см і 9 см, а його пери- метр — 36 см. Знайдіть четверту сторону. 20. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо одна його сторона дорівнює 25 см і вона менша від кожної іншої сторони відповідно на 2 см, 10 см, 13 см. 21. Периметр чотирикутника дорівнює 64 см. Знайдіть сторони чотирикут- ника, якщо вони пропорційні до чисел 2, 3, 4 і 7. 22. Чи може в опуклого чотирикутника бути: а) два прямих кути; б) три гострих кути; в) три тупих кути? 23. Знайдіть кути опуклого чотирикутника, якщо вони пропорційні до чи- сел 2, 5, 8 і 9. 24. У чотирикутнику АВСD ∠В = ∠С, ∠А = 100°, ∠D = 40°. Знайдіть зов- нішній кут при вершині С. 25. Обчисліть зовнішній кут опуклого чотирикутника при вершині D, якщо ∠А = 40°, ∠В = 150°, ∠С = 100°. 26. Побудуйте чотирикутник ABCD, у якого AD = 6 см, ∠A = 110°, AB = 4 см, ∠B = 90° і BC = 5 см. 27. Побудуйте чотирикутник ABCD, у якого AD = 6 см, AB = 3 см, ∠A = 90°, ∠D = 70° і ∠B = 120°. РІВЕНЬ Б 28. Побудуйте чотирикутник ABCD, у якого AD = 5 см, ∠A = 80°, ∠D = 70°, AB = 4 см і DC = 3 см. 29. Знайдіть кути чотирикутника АВСD, якщо відомо, що один з кутів утри- чі менший від кожного з інших.
  • 17. 18 § 1. Чотирикутники 30. У чотирикутнику MNKP сторони NK і MP паралельні. Визначте кути N і P, якщо ∠М = 41°, ∠K = 125°. 31. Периметр чотирикутника дорівнює 29 см. Знайдіть довжину діагоналі, яка поділяє його на два трикутники з периметрами 26 см і 27 см. 32. Знайдіть периметр чотирикутника, у якого діагональ завдовжки 15 см поділяє його на трикутники з периметрами 32 см і 33 см. 33. Доведіть, що найменший кут чотирикутника не може бути тупим. 34. Доведіть, що в чотирикутнику один з кутів не може дорівнювати сумі трьох інших кутів. 35. В опуклому чотирикутнику ABCD діагональ BD поділяє навпіл кут B, а сусідні сторони AB і BC рівні. Доведіть, що сусідні сторони АD і CD також рівні. 36. В опуклому чотирикутнику MOKL усі сторони рівні. Доведіть, що кути O і L чотирикутника рівні. 37. Побудуйте чотирикутник ABCD зі сторонами AB = 2 см; AD = 4 см; CD = 3 см, діагоналлю AC = 5 см і ∠A = 120°. 38. Побудуйте чотирикутник ABCD зі сторонами AB = 4 см, AD = 6 см і CD = 2 см і діагоналями AC = 7 см, BD = 2 см. РІВЕНЬ В 39. Знайдіть сторони чотирикутника, периметр якого дорівнює 82 см, якщо перша його сторона на 2 см більша від другої, удвічі менша від третьої й становить третю частину четвертої сторони. 40. В опуклому чотирикутнику ABCD AB = BC і AD = CD. Доведіть, що діа- гоналі чотирикутника перпендикулярні. 41. У чотирикутнику ABCD діагональ AC поділяє кути A і C навпіл. Пери- метр чотирикутника дорівнює 32 см, а сторона AB — 7 см. Знайдіть три інші сторони чотирикутника. 42. Побудуйте чотирикутник за трьома кутами та двома сторонами, який утворюють четвертий кут. 43. Побудуйте чотирикутник за чотирма сторонами та діагоналлю. 44. Побудуйте чотирикутник за чотирма сторонами та кутом. 45. Позначте точки M, O і P, які не лежать на одній прямій. Знайдіть усі можливі положення точки K, за яких чотирикутник MOPK є неопуклим.
  • 18. Цікаво знати 19 ● Інформація про деякі властивості окремих видів чотирикутників місти- лася ще в давніх єгипетських і вавилонських рукописах. Зокрема, запи- си про чотирикутники містить папірус Ахмеса (бл. 2000 років до н. е.). ● Знання про окремі види чотирикутників викладені й у «Началах» Евклі- да, а цілісна теорія чотирикутників і сучасна термінологія були розроб- лені вже наприкінці середніх віків. ● Термін «діагональ» походить від поєднання двох грецьких слів: «діа» — «через, крізь» і «гоніа» — «кут», тобто означає «той, що йде від кута до кута». Загальнов
  • Related Search
    Advertisement
    We Need Your Support
    Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

    Thanks to everyone for your continued support.

    No, Thanks